Kamis, 15 Desember 2011

Transformasi

Transformasi adalah perubahan atau perpindahan suatu posisi dari suatu benda. Untuk melakukan transformasi benda, kita dapat melakukan dengan cara translasi, dilatasi, rotasi, refleksi dan translasi liner.

  • Translasi
Translasi adalah pergeseran suatu benda sejajar atau searah dengan sumbu-sumbunya dari titik koordinat awal ke titik koordinat tujuan . Titik koordinat tujuan translasi benda dapat kita cari dengan menggunakan perhitungan matriks translasi. Matriks ini digunakan untuk mempermudah mencari titik koordinat tujuan . Translasi ada dua jenis, yakni translasi 2 dimensi dan translasi 3 dimensi. Pada setiap translasi tersebut, memiliki matriks yang berbeda.

Matriks Translasi 2D

|  1  0  Tx  |
|  0  1  Ty  |
|  0  0  1    |

Matriks Translasi 3D

|  1  0  0  Tx  |
|  0  1  0  Ty  |
|  0  0  1  Tz  |
|  0  0  0  1    |

Keterangan
  • Tx adalah nilai pergeseran benda sejajar atau searah sumbu x.
  • Ty adalah nilai pergeseran benda sejajar atau searah sumbu y.
  • Tz adalah nilai pergeseran benda sejajar atau searah sumbu z.
Contoh:

Terdapat sebuah benda ABCD dimana titik A(2,3) , titik B(2,8) , titik C(7,8) dan titik D(7,3), kemudian benda tersebut digeser searah sumbu x positif  sebanyak 3 dan digeser searah sumbu y positif sebanyak 4. Tentukan titik koordinat tujuan dari benda ABCD !

Pembahasan:
Benda ABCD adalah benda 2D, maka matriks yang digunakan adalah matriks translasi 2D. Nilai Tx = 3 dan nilai Ty = 4. Sehingga matriks yang terbentuk menjadi seperti di bawah.
|  1  0  3  |
|  0  1  4  |  
|  0  0  1  |
A(2,3) - > A' (5,7)
|  1  0  3  |  |  2  |     |  5  |
|  0  1  4  |  |  3  |  = |  7  |
|  0  0  1  |  |  1  |     |  1  |

B(2,8) -> B'(5,12)
|  1  0  3  |  |  2  |     |   5   |
|  0  1  4  |  |  8  |  = |  12  |
|  0  0  1  |  |  1  |     |   1   |

C(7,8) -> C'(10,12)
|  1  0  3  |  |  7  |     |  10  |
|  0  1  4  |  |  8  |  = |  12  |
|  0  0  1  |  |  1  |     |   1   |

D(7,3) -> D'(10,7)
|  1  0  3  |  |  7  |     |  10  |
|  0  1  4  |  |  3  |  = |   7   |
|  0  0  1  |  |  1  |     |   1   |

Angka 1 digunakan hanya sebagai angka dummy untuk membuat matriks dengan jumlah baris yang sama dengan matriks translasi-nya.

  • Dilatasi
Dilatasi adalah perubahan ukuran suatu benda dengan melakukan perbesaran ukuran bendaatau pengecilan ukuran benda .

Matriks Dilatasi 2D

|  Sx  0  |
|  0  Sy  |

Matriks Dilatasi 3D

|  Sx  0  0  0  |
|  0  Sy  0  0  |
|  0  0  Sz  0  |
|  0  0  0   1  |

Keterangan
  • Sx adalah nilai skala perbesaran atau pengecilan pada sumbu x.
  • Sy adalah nilai skala perbesaran atau pengecilan pada sumbu y.
  • Sz adalah nilai skala perbesaran atau pengecilan pada sumbu z.
  • Refleksi 
Refleksi adalah mencerminkan suatu titik koordinat atau benda terhadap suatu garis.

Matriks pencerminan terhadap sumbu x
|  1   0  |
|  0  -1  |

Matriks pencerminan terhadap sumbu y
|  -1   0  |
|   0   1  |

Matriks pencerminan terhadap garis y=x
|  0   1  |
|  1   0  |

Matriks pencerminan terhadap garis y=-x
|  0   -1  |
|  -1   0  |

Sumber bacaan